我認(rèn)為小學(xué)時期是可以學(xué)奧數(shù)的，只要孩子愿意,，就鼓勵,。

當(dāng)前，我國數(shù)學(xué)英才教育的缺失,，是數(shù)學(xué)教育的重大隱憂,，為改變落后局面，應(yīng)加強數(shù)學(xué)教育特別是數(shù)學(xué)頂尖人才的培養(yǎng),。

———張云勇

（一）數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)在某種程度上是一種工具,。通過數(shù)學(xué)，可以研究其他事情,。從本質(zhì)上說,，數(shù)學(xué)研究三類問題，一是研究數(shù)量,，二是研究空間圖形,，三是研究隨機現(xiàn)象。也就是說,，所研究的事情可能發(fā)生也可能不發(fā)生,，因此，數(shù)學(xué)思想主要有3個,，即抽象,、推理和模型,。

我國漢代就有《九章算術(shù)》，其內(nèi)容包含當(dāng)時的數(shù)學(xué)全體,，宋,、元時期，“算學(xué)”和“數(shù)學(xué)”兩詞并用,，1935年中國數(shù)學(xué)會名詞審查委員會仍主張兩詞并用,，直到1939年6月，才確定使用“數(shù)學(xué)”,，而不再用“算學(xué)”,。

數(shù)學(xué)的拉丁文來源于希臘字的科學(xué)、知識,、學(xué)問的意思,。“代數(shù)”來自拉丁文,，公元820年左右,，烏茲別克的阿爾花拉子模著有一本《代數(shù)學(xué)》，1140年羅伯特(Robert)把它譯為拉丁文,，書名應(yīng)是“還原與對消的科學(xué)”,，后來漸漸演變?yōu)椤按鷶?shù)”。

幾何一詞最早來自于希臘語,，由“土地”“測量”兩個詞合成而來,，指土地的測量，即測地術(shù),，后來拉語化為幾何,。

數(shù)學(xué)是一個基礎(chǔ)性的學(xué)科，人不一定一輩子都從事數(shù)學(xué)研究,，如果從事經(jīng)濟學(xué)研究,，習(xí)慣于定量分析，擁有較好的數(shù)學(xué)知識就很好,；如果研究生物學(xué),，對基因的遺傳規(guī)律感興趣，也可以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識,；物理中更多的是可量化的事情,，如果對物理感興趣，可以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),；如果希望進(jìn)行并習(xí)慣于理性思維,，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好處是，一方面學(xué)會了計算；另一方面學(xué)會了邏輯思考,。當(dāng)然，各類名牌大學(xué)提前錄取時,，還將數(shù)學(xué)自主命題作為重中之重,。

羅素曾說:“恰當(dāng)?shù)卣f，數(shù)學(xué)不僅涵括真理,，亦表現(xiàn)最高等的美——這種美冷靜而簡樸,，宛若雕塑，不訴諸我們?nèi)魏稳崛醯谋拘?，沒有繪畫中抑或音樂中的華麗絢爛,，但是純粹得莊嚴(yán)，只有最偉大的藝術(shù)才能展示其嚴(yán)格的完美,?！?/p>

文學(xué)評論家林興宅說“最好的詩是數(shù)學(xué)”。只有在數(shù)學(xué)和詩里,，人的精神才能夠進(jìn)入一個比較純粹的境界,，才能把對世界的認(rèn)知符號化、純粹化,，從而提升激揚,。

如4位數(shù)黑洞6174現(xiàn)象，把4個數(shù)字由小至大排列,，組成一個新數(shù),，又由大至小排列組成一個新數(shù)，這兩個數(shù)相減,，之后重復(fù)這個步驟,，只要4位數(shù)的4個數(shù)字不重復(fù)，數(shù)字最終便會變成6174,。

3X+1猜想是任取一個自然數(shù),，如果是偶數(shù)，就除以2,，如果是奇數(shù),，就乘3再加上1。在這樣的變換下,，得到一個新的自然數(shù),。如果反復(fù)使用這個變換，就會得到一串自然數(shù),，猜想就是：反復(fù)進(jìn)行上述運算后,，最后結(jié)果為1。

假如先取5,，首先得到3×5+1=16,，然后是16÷2=8,，接下去是4、2和1,，由1又得到4,，于是我們就陷在4→2→1這個循環(huán)中了。再舉個例子,，最開始的數(shù)取7,，我們得到下面的序列：7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。在西方,，它常被稱為西拉古斯(Syracuse)猜想,，據(jù)說這個問題首先是在美國的西拉古斯大學(xué)被研究的；而在東方,，這個問題將由它帶到日本的日本數(shù)學(xué)家角谷靜夫的名字命名,，被稱作角谷猜想。

（二）要不要學(xué)奧數(shù)

對于奧數(shù),，人們歷來褒貶不一,，爭議很大。最普遍的一種說法,，是奧數(shù)只適合5%的孩子學(xué)習(xí),，對另外的95%是不適合的，甚至,，可能會是一種折磨,。也許我們的孩子不是那5%，但我們有讓孩子爭取進(jìn)入那5%的自由和權(quán)利,。

我認(rèn)為,，小學(xué)時期是要學(xué)奧數(shù)的，這是今后學(xué)習(xí)必須打好的基礎(chǔ)之一,。當(dāng)然,，沒有必要逼著孩子去參加奧數(shù)比賽，只要孩子愿意,，找一位適合的老師,，認(rèn)真學(xué)習(xí)就行。我女兒8歲那年,，開始學(xué)奧數(shù),，通過一年仔細(xì)觀察，我發(fā)現(xiàn),，孩子的邏輯性變強了,，做事情更有條理了，每做事之前，她都會想一想,，列個計劃,，按步驟去做，不僅提高了效率,，反應(yīng)也變快了,，這和在奧數(shù)學(xué)習(xí)中的訓(xùn)練有很大關(guān)系。

對于如何學(xué)奧數(shù)這個問題,，我認(rèn)為無論學(xué)什么，首先要有興趣,，因為興趣是學(xué)習(xí)最根本的動力,，在學(xué)習(xí)的過程中，在克服困難的過程中感到樂趣,，這很重要,。

大數(shù)學(xué)家高斯曾說過：“讓人產(chǎn)生最大樂趣的應(yīng)該是學(xué)習(xí)而不是知識，是追尋而不是擁有,，是過程而不是結(jié)果,。”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要會思考,，因此,，具有理性思維的人更適宜學(xué)數(shù)學(xué)。學(xué)數(shù)學(xué)不做題不行,，但也不一定必須要大量做題,，要從刷題到挖題，從做題到講題再到命題,！

對于小學(xué)生來講,，應(yīng)注重趣味性，可以學(xué)習(xí)加德納趣味數(shù)學(xué)典藏版”（第一輯,、第二輯,、第三輯），這些書籍包括法國趣題大師皮埃爾·貝洛坎精心設(shè)計的絞腦汁難題集,，美國趣題大師馬丁加德納及英國趣題作家休伯特菲利普斯,、安吉拉鄧恩、亨利杜德尼等4位作者的圖書,，還可通過日本小蜜蜂BEE（日本菲爾茲獎得主小平邦彥,、廣平中佑主持）來了解和學(xué)習(xí)奧數(shù)。

我個人的經(jīng)驗是,，學(xué)習(xí)前先精心選好素材,，孩子聽不懂的堅決不講,大人講得比較累的堅決不講,沒有興趣的堅決不講，只講趣題,不講難題,即便是難題,也要用一種通俗易懂的方式教會孩子,且能觸類旁通,所謂大道至簡即是此理。

（三）關(guān)于數(shù)學(xué)競賽

IMO是國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽的縮寫,，1959年7月在羅馬尼亞舉行了第一屆IMO,當(dāng)時只有7個國家(羅馬尼亞,、保加利亞、波蘭,、匈牙利,、捷克斯洛伐克、前民主德國,、前蘇聯(lián))參加,，后來,美、英,、法,、德等國家和亞洲一些國家也陸續(xù)參加，如今,，IMO幾乎已被所有的文明國家所接納,。

1956年，中國受前蘇聯(lián)影響,在京,、津,、滬、漢4個城市舉辦了第一次數(shù)學(xué)競賽,，主持這一競賽的是著名數(shù)學(xué)家華羅庚,。那時的競賽規(guī)模較小,僅限于大城市，但由于各種因素的干擾,斷斷續(xù)續(xù)地進(jìn)行了近10年后完全停止,，直到1978年才再度恢復(fù),。

目前，正在舉行的各類競賽包括希望杯,、迎春杯,、中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克、世界(中國)青少年數(shù)學(xué)奧林匹克,、中國數(shù)學(xué)奧林匹克等近20項賽事,。在每年的全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽后，選拔120名左右的同學(xué)參加中國數(shù)學(xué)奧林匹克“冬令營”,，簡稱CMO,。CMO為期5天，在每年的1月舉行,，無論是題型還是難度,CMO完全模擬IMO,而且也是每天做3道題,限時4.5小時,，但每題21分,總分126分。從1990年開始,冬令營設(shè)立了“陳省身杯”團(tuán)體賽,。從1991年起,冬令營又被正式命名為“中國數(shù)學(xué)奧林匹克”,，與前蘇聯(lián)和美國的國家級最高競賽相類似,。冬令營后，再經(jīng)過TST選拔,，最終選拔6名同學(xué)（高一到高三）參加IMO,。

從最近幾年的成績榜單看，我國已連續(xù)3年處于第2,、第3位,，就目前的發(fā)展趨勢，今后在1到3名之間徘徊應(yīng)該也是大概率事件,，這不得不讓人反思,，人才外流、幾何短板,，代數(shù)技巧性不強,、課程體系不合理，難的不難,、簡單的不簡單，競賽定位不明確,、發(fā)展方向迷茫等都阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展,，因此，培養(yǎng)頂尖數(shù)學(xué)人才已迫在眉睫,。

（四）數(shù)學(xué)競賽入門推薦書

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時,，一味迷戀初等數(shù)學(xué)的技巧，忽視高等數(shù)學(xué)的重要性,，難以走遠(yuǎn)且很難取得好的發(fā)展,。很多競賽題都取材于高等數(shù)學(xué)，這里推薦幾本好書,，多看書是有好處的,。

對于奧數(shù)入門者來說，最先做的當(dāng)然是補全課標(biāo)大綱和競賽大綱之間的差距,，《新編中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法全書》《奧數(shù)教程》較適合,，這兩本為經(jīng)典奧數(shù)藍(lán)皮書。優(yōu)點是與課本知識聯(lián)系緊密,，以講解為主,，以測試為輔，適合在第一遍學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識的同時同步提高,，打下堅實的基礎(chǔ),。

想要參加數(shù)學(xué)競賽并獲得提高，《奧賽小叢書》很適用,，很多題非常精彩,，難度涵蓋聯(lián)賽和冬令營,。另一本《奧賽經(jīng)典》內(nèi)容比較全面，例題選取比較新,，難度較高,，適合著眼于聯(lián)賽二試和冬令營的同學(xué)，代數(shù)部分可以作為《奧賽小叢書》的補充,?！睹}人講座》適合系統(tǒng)學(xué)習(xí)，沖刺冬令營,。但沒必要每本都做,，挑其中較好的做便可?！稊?shù)學(xué)競賽研究教程(套裝上下冊)》是參加數(shù)學(xué)競賽的教練員和選手的必備用書,。國內(nèi)數(shù)學(xué)競賽研究方面的權(quán)威參考書。

學(xué)習(xí)幾何的同學(xué),，可參考《初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究平面幾何》《初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究立體幾何》,，是蕭振綱教授的幾何變換（哈工大版），有助于深化系統(tǒng)幾何基礎(chǔ),。學(xué)習(xí)組合的同學(xué)可參考單樽老師的《組合幾何》《趣味圖論》,。

已進(jìn)入數(shù)學(xué)競賽實戰(zhàn)的同學(xué)，可以參考《中等數(shù)學(xué)》,，這本書是專業(yè)的競賽書籍,，有各種講座和國內(nèi)外試題詳細(xì)解析?！陡咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊》各省預(yù)賽試題集錦,。《走向IMO》收集國內(nèi)最高層次數(shù)學(xué)競賽試題和國外數(shù)學(xué)奧林匹克試題,難度非常大,。歷屆CMO/IMO試題集,，準(zhǔn)備聯(lián)賽實戰(zhàn)的同學(xué)還有很多參考書，例如《奧數(shù)精講與測試》《備考手冊》《幾何瑰寶:平面幾何500名題暨1000條定理》和《世界著名平面幾何經(jīng)典著作鉤沉》,，等等,。

再向大家推薦幾本數(shù)學(xué)競賽原著，讀原著有助于真正提高水平,，是成為大師的必由之路,，首先是《數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)叢書》（第一輯、第二輯）,，《數(shù)林外傳》是中科大出版的提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)的好書,。《數(shù)學(xué)小叢書》是華羅庚等數(shù)學(xué)大家編寫的,，認(rèn)真閱讀受益終生,。數(shù)學(xué)分析習(xí)題集《吉米多維奇》《北大習(xí)題集》,，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課有中科大常庚哲、史濟懷的《數(shù)學(xué)分析教程》,，外文的推薦《圖靈數(shù)學(xué)系列》《數(shù)學(xué)名著譯叢》《華章數(shù)學(xué)譯叢》《法蘭西精品譯叢》,。

（五）中外數(shù)學(xué)名家

提起數(shù)學(xué)家，大多數(shù)人會列出阿基米德,、高斯,、歐拉、艾薩克·牛頓(微積分和力學(xué))和波恩哈德·黎曼,，他們是自古以來最杰出的5位數(shù)學(xué)思想家,。

曾有人說：“一輩子沒有學(xué)過數(shù)學(xué)，是一生的失敗,，一輩子沒讀過拉馬努金公式,，是全社會全人類的失敗”，拉馬努金是印度在過去一千年中所誕生的超級偉大的數(shù)學(xué)家,。他的直覺的跳躍甚至令今天的數(shù)學(xué)家感到迷惑,，在他死后70多年，他的論文中埋藏的秘密依然在不斷地被挖掘出來,。他發(fā)現(xiàn)的定理被應(yīng)用到他活著的時候很難想象到的領(lǐng)域,。

我國當(dāng)代著名的數(shù)學(xué)家有陳省身、華羅庚,、陳景潤、丘成桐,、吳文俊,。陳省身是國際數(shù)學(xué)大師，“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”的創(chuàng)始人,，少年時代即顯露出非凡的數(shù)學(xué)才華,，在整體微分幾何上貢獻(xiàn)卓越，影響了整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展,。曾先后主持,、創(chuàng)辦了三大數(shù)學(xué)研究所，造就了一批世界知名的數(shù)學(xué)家,。

華羅庚是世界著名數(shù)學(xué)家,，是中國解析數(shù)論、矩陣幾何學(xué),、典型群,、自安函數(shù)論等多方面研究的創(chuàng)始人和開拓者，國際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有多項,，如“華氏定理”“華氏不等式”等,。

陳景潤是中國著名數(shù)學(xué)家,，1966年發(fā)表《表達(dá)偶數(shù)為一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和》（簡稱“1+2”），成為哥德巴赫猜想研究上的里程碑,。而他所發(fā)表的成果也被稱之為陳氏定理獲得中國自然科學(xué)獎一等獎,。1999年，中國發(fā)行紀(jì)念陳景潤的郵票,。同年10月,，紫金山天文臺將一顆行星命名為“陳景潤星”。

丘成桐是著名華裔數(shù)學(xué)家,、哈佛大學(xué)終身教授,、美國科學(xué)院院士、中國科學(xué)院外籍院士,、俄羅斯科學(xué)院外籍院士,、意大利科學(xué)院外籍院士、數(shù)學(xué)界最高榮譽菲爾茲獎得主,、克拉福德獎得主,、獲得有數(shù)學(xué)家終身成就獎之稱的沃爾夫數(shù)學(xué)獎。

吳文俊是中國著名的數(shù)學(xué)家,，在拓?fù)鋵W(xué)的示性類和示嵌類,、數(shù)學(xué)機械化等領(lǐng)域中作出重要貢獻(xiàn)，后者得益于他對中國數(shù)學(xué)史的研究,。這是近代數(shù)學(xué)史上的第一個中國原創(chuàng)的領(lǐng)域,，被國際上稱為“吳方法”。

《美麗心靈》這部影片于2001年出品,，數(shù)學(xué)家小約翰·福布斯·納什英俊而又十分古怪,，少年時即對數(shù)學(xué)有了驚人的發(fā)現(xiàn)，開始享有國際聲譽,。但他出眾的直覺受到了精神分裂癥的困擾,，使他向?qū)W術(shù)最高層進(jìn)軍的歷程受到挑戰(zhàn)。在妻子的幫助下,，終于戰(zhàn)勝病魔,，于1994年獲得諾貝爾獎。

《心靈捕手》是一部勵志劇情電影,，講述的是一位麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)教授,，在公布欄寫下一道難題，希望他的學(xué)生能解開答案,，可無人能解,。一位年輕的清潔工威爾輕而易舉地解出了答案。威爾在數(shù)學(xué)方面雖然有著過人的天賦,，但他卻是個問題少年,，最終在心理學(xué)家的幫助下,，終于打開心扉，找回了自我,。

《費馬最后定理》費馬最后定理在長達(dá)三個多世紀(jì)的歷史長河中,，令許多杰出的數(shù)學(xué)家絞盡腦汁而不得其解。最后,，安德魯·懷爾斯幾十年如一日,，執(zhí)著地鉆研探求，終于證明出費馬最后定理,。

《笛卡爾》講述的是一位名叫勒奈·笛卡爾的真實故事,。他對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)，因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父,。他還是西方現(xiàn)代哲學(xué)思想的奠基人,，是近代唯物論的開拓者，提出了“普遍懷疑”的主張,。他的哲學(xué)思想深深影響了之后的幾代歐洲人,，開拓了所謂“歐陸理性主義”哲學(xué)。

《牛頓探索》1643年1月4日,，在英格蘭林肯郡小鎮(zhèn)沃爾索浦的一個農(nóng)耕家庭,，牛頓誕生了。牛頓是一個早產(chǎn)兒,，出生時只有三磅重,，接生婆和他的親人都擔(dān)心他能否活下來。誰也沒有料到這個看起來微不足道的小東西會成為一位震古爍今的科學(xué)巨人,。

《博士熱愛的算式》一次交通意外,，令天才數(shù)學(xué)博士只剩下80分鐘的記憶，時間一到,，所有記憶自動歸零,，重新開始,。遇上語塞的時候,，他總會以數(shù)字代替語言，以獨特的風(fēng)格和別人交流,。他身上到處都是用夾子夾著的紙條,，用來填補那只有80分鐘的記憶。這次,，新來的管家杏子帶著10歲的兒子照顧博士的起居,。博士十分喜愛杏子的兒子，并稱呼他作“根號”,，因為根號能容納所有人和事,，他讓母子倆認(rèn)識數(shù)學(xué)算式內(nèi)美麗且光輝的世界,。因為只有短短80分鐘，3人相處的每一刻都顯得非常珍貴,。

《阿基米德的秘密》古希臘物理學(xué)家,、數(shù)學(xué)家、靜力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人阿基米德,，除了偉大的牛頓和偉大的愛因斯坦,，再沒有一個人像阿基米德那樣為人類的進(jìn)步做出過這樣大的貢獻(xiàn)。即使牛頓和愛因斯坦也都曾從他身上汲取過智慧和靈感,。他是“理論天才與實驗天才合于一人的理想化身”,，文藝復(fù)興時期的達(dá)·芬奇和伽利略等人都拿他來做自己的楷模。

《伽利略:為真理而戰(zhàn)》基于達(dá)娃·索貝爾的暢銷傳記《伽利略的女兒：科學(xué),、信仰和愛的歷史回憶》改編而成,，展示了偉大科學(xué)家伽利略的人生軌跡和追求真理的道路。

《阿蘭·圖靈》阿蘭·圖靈這個名字無論是在計算機領(lǐng)域,、數(shù)學(xué)領(lǐng)域,、人工智能領(lǐng)域還是哲學(xué)、邏輯學(xué)等領(lǐng)域,，都可謂“擲地有聲”,。圖靈是計算機邏輯的奠基者，許多人工智能的重要方法也源自這位偉大的科學(xué)家,。他在24歲時提出了圖靈機理論,，31歲參與了二戰(zhàn)時英國破解德國通訊密碼計算機的研制，33歲時構(gòu)思了仿真系統(tǒng),，35歲提出自動程序設(shè)計概念,，38歲設(shè)計了“圖靈測試”，在后來還創(chuàng)造了一門新學(xué)科——非線性力學(xué),。人們仰望著這位偉大的英國科學(xué)家,，把“計算機之父”“人工智能之父”“破譯之父”等頭銜都加冕在他身上，甚至認(rèn)為,，他在技術(shù)上的貢獻(xiàn)及對未來世界的影響幾乎可與牛頓,、愛因斯坦等巨人比肩。

日本著名數(shù)學(xué)家米山國藏曾在《數(shù)學(xué)的精神,、思想和方法》中寫到,，數(shù)學(xué)有用，而且是一門偉大的學(xué)問,！米山國藏認(rèn)為,，作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年可能就忘了,唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點等,這些隨時隨地發(fā)生作用,，使人終身受益,。